余弦定理の２次方程式

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■余弦定理の２次方程式

《解説》
□
　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$

□
　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.

a, b, Aが与えられているとき，
余弦定理　a2=b2+c2−2bccosA
を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.
⇒　c2−(2b cos A)c+(b2−a2)=0

【例】
$a=2, b=\sqrt{6}, A=45^{\circ}$ のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)　
　角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
a2=b2+c2−2bc cosA
$4=6+ c^2-2\sqrt{6}\times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^2-2\sqrt{3}c + 2=0$ $ c^2-2\sqrt{3}c+2=0 $
解の公式から $c=\sqrt{3}\pm 1$ $ c=\sqrt{3}\pm 1 $・・・(答)

※２次方程式の解は，通常２個あります．
２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
　もし，２次方程式の解が $c=1\pm \sqrt{3}$ となった場合には，
$c=1+ \sqrt{3}$ だけが答です.（ $c=1- \sqrt{3}(\lt 0)$ では三角形はできないからです.）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ $ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8

２
a=7, b=5, A=120°
のとき辺cの長さを求めなさい.

HELP

2，3，4， 5

6，7，8

$\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$

$\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$

上記以外

$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入
$49=25+ c^2-2\times 5\times c\times (-\frac{1}{2})$
c2+5c−24=0
(c+8)(c−3)=0
c=−8, 3
c>0によりc=3

３
$c=\sqrt{31},a=5,C=60^{\circ}$
のとき辺bの長さを求めなさい.

HELP

$c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$ に代入
$31=25+ b^2-2\times 5\times b\times \frac{1}{2}$
b2−5b−6=0
(b+1)(b−6)=0
b=−1, 6
b>0によりb=6

４
$a=\sqrt{2},c=\sqrt{6},A=30^{\circ}$
のとき辺bの長さを求めなさい.

HELP

$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入
$2=b^2 + 6-2\times b\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0$
$(b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0$ （解の公式で解いてもよい）
$b=\sqrt{2},\hspace{5px}2\sqrt{2}$ （答は２つある）

５
$b=\sqrt{7},c=4,B=30^{\circ}$
のとき辺aの長さを求めなさい.

HELP

$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$ に代入
$7=16 + a^2-2\times 4\times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2-4\sqrt{3}a+ 9=0$
$(a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0$ （解の公式で解いてもよい）
$a=\sqrt{3},3\sqrt{3}$ （答は２つある）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ \( a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \)に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8