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【例】
△ABCについて，a=bcosC+ccosBが成立することを証明しなさい．

(答案)・・・教科書などで証明済みの「正弦定理」や「余弦定理」を用いて，左辺と右辺が等しいことを示せばよい．
（右辺）＝＝＝＝ａ＝（左辺）

正しいと思う選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．選択肢をクリックしなければ，解説は出ません．
正答の場合の採点結果⇒
誤答の場合の採点結果⇒

\( a(\sin B+\sin C) \) \( c(\sin^2 A+ \sin^2 B) \) \( (b-c)\sin A+ (c-a)\sin B +(a-b)\sin C \) \( a(\cos B-\cos C) \) \( \dfrac{c\cos B}{b}-\dfrac{c\cos A}{a} \) \( a(b\cos C-c\cos B) \) \( a^2+ b^2+ c^2 \) \( a\cos A\sin C \) \( \dfrac{a-c\cos B}{b-c\cos A} \) \( \dfrac{\tan B}{\tan C} \) * * END * *

【選択肢】
\( 0 \) \( b^2-c^2 \) \( \displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a} \) \( \displaystyle \frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2} \)

\( \displaystyle (b+ c)\sin A \) \( \displaystyle \sin C(a\sin A+ b\sin B) \)

\( \displaystyle \frac{\sin B}{\sin A} \) \( \displaystyle 2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C) \)

\( \displaystyle (b-a\cos C)\sin A \) \( \displaystyle (c-b)(1+ \cos A) \)

a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle a(\sin B+\sin C)\)
\( \displaystyle =a\big(\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\big)=\frac{a(b+c)}{2R}\)

\( \displaystyle (b+c)\sin A\)
\( \displaystyle =(b+c)\frac{a}{2R}=\frac{a(b+c)}{2R}\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle c(\sin^2 A+\sin^2 B)\)
\( \displaystyle =c\Big\{\big(\frac{a}{2R}\big)^2+\big(\frac{b}{2R}\big)^2\Big\}=\frac{c(a^2+b^2)}{4R^2}\)

\( \displaystyle \sin C(a\sin A+b\sin B)\)
\( \displaystyle =\frac{c}{2R}\Big(a\times\frac{a}{2R}+b\times\frac{b}{2R}\Big)=\frac{c(a^2+b^2)}{4R^2}\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle (b-c)\sin A+(c-a)\sin B+(a-b)\sin C\)
\( \displaystyle =(b-c)\times\frac{a}{2R}+(c-a)\times\frac{b}{2R}+(a-b)\times\frac{c}{2R} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2R}(\cancel{ab}-\bcancel{ac}+\xcancel{bc}-\cancel{ab}+\bcancel{ac}-\xcancel{bc}) \)

=\( 0\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle a(\cos B-\cos C)\)
\( \displaystyle =\cancel{a}\Big(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cancel{a}c}-\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cancel{a}b}\Big)\)
\( \displaystyle =\frac{b(a^2+c^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)}{2bc}\)
\( \displaystyle =\frac{a^2b+bc^2-b^3-a^2c-b^2c+c^3}{2bc}\)

\( \displaystyle (c-b)(1+\cos A)\)
\( \displaystyle = (c-b)(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})\)
\( \displaystyle = (c-b)\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\( \displaystyle = \frac{2bc^2+b^2c+c^3-a^2c-2b^2c-b^3-bc^2+a^2b}{2bc}\)
\( \displaystyle = \frac{bc^2+c^3-a^2c-b^2c-b^3+a^2b}{2bc}\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

※この問題は，計算がやや込み入ったものになっている →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle \frac{c\cos B}{b}-\frac{c\cos A}{a} \)
\( \displaystyle =\frac{\cancel{c}}{b}\times\frac{a^2+c^2-b^2}{2a\cancel{c}}-\frac{\cancel{c}}{a}\times\frac{b^2+c^2-a^2}{2b\cancel{c}} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2ab}\big(a^2+\bcancel{c^2}-b^2-b^2-\bcancel{c^2}+a^2\big) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2ab}\big\{2(a^2-b^2)\big\} \)
\( \displaystyle =\frac{a^2-b^2}{ab} \)

=\(\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle a(b\cos C-c\cos B) \)
\( \displaystyle =a\Big(b\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-c\times\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\Big) \)
\( \displaystyle =\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \)

=\( b^2-c^2\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle 2(bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C) \)
\( \displaystyle \!=\!2\Big(bc\!\cdot\!\frac{b^2\!+\!c^2\!-\!a^2}{2bc}\!+\!ca\!\cdot\!\frac{a^2\!+\!c^2\!-\!b^2}{2ac}\!+\!ab\!\cdot\!\frac{a^2\!+\!b^2\!-\!c^2}{2ab}\Big) \)
\( b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2 \)

=\( a^2+b^2+c^2\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle a\cos A\sin C\)
\( \displaystyle =a\times\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cancel{b}c}\times\frac{\cancel{c}}{2R} \)
\( \displaystyle =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4bR} \)

\( \displaystyle (b-a\cos C)\sin A\)
\( \displaystyle =\Big(b-\bcancel{a}\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2\bcancel{a}b}\Big)\times\frac{a}{2R} \)
\( \displaystyle =\Big(\frac{2b^2-a^2-b^2+c^2}{2b}\Big)\times\frac{a}{2R} \)
\( \displaystyle =\Big(\frac{b^2-a^2+c^2}{2b}\Big)\times\frac{a}{2R} \)
\( \displaystyle =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4bR} \)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle \frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}\)\( \displaystyle =\frac{a-\cancel{c}\times\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a\cancel{c}}} {b-\cancel{c}\times\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2b\cancel{c}}} \)
\( \displaystyle =\frac{\dfrac{2a^2-a^2-c^2+b^2}{2a}}{\dfrac{2b^2-b^2-c^2+a^2}{2b}} \) \( \displaystyle =\frac{\dfrac{a^2-c^2+b^2}{2a}}{\dfrac{b^2-c^2+a^2}{2b}} \)
\( \displaystyle =\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\times\frac{2b}{a^2+b^2-c^2} \)\( \displaystyle =\frac{b}{a} \)

\( \displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}\)\( \displaystyle =\frac{\dfrac{b}{2R}}{\dfrac{a}{2R}} \)\( \displaystyle =\frac{b}{2R}\times\frac{2R}{a} \)\( \displaystyle =\frac{b}{a} \)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\( \displaystyle \frac{\tan B}{\tan C}\)\( \displaystyle =\frac{\dfrac{\sin B}{\cos B}}{\dfrac{\sin C}{\cos C}} \)\( \displaystyle =\frac{ \dfrac{b}{\cancel{2}R}\times\dfrac{\cancel{2}ac}{a^2+c^2-b^2} }{\dfrac{c}{\cancel{2}R}\times\dfrac{\cancel{2}ab}{a^2+b^2-c^2}} \)
\( \displaystyle =\frac{abc}{R(a^2+c^2-b^2)}\times\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc} \)

=\( \displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}\)
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す←