=== 増減表の作り方 ===

■解説

＜元になる考え方＞
y ' は接線の傾きを表わすので，y’ の符号の変化を見れば，増加・減少が分かる．
y’>0 のところでは，グラフは増加となる．
y’<0 のところでは，グラフは減少となる．

例１
　y=x2−2x　の増減表を求めるには：
■微分して y’ を求める ■
　y’=2x−2=2（x−1）　となる

■ y’=0　となる x の値を求める ■
　y’=0　となる x の値は 2（x−1）=0　より x=1

■ y’ の符号を求める ■
　 x<1　のとき，例えば　x=0　のとき　y’=−2　だから
　y’ の符号は−になる．
　 x>1　のとき，例えば　x=2　のとき　y’=2　だから
　y’ の符号は+になる．

■ 増減を矢印で表わす ■
  y’ の符号が−のときは，y は減少．これを記号で表わす． y’ の符号が+のときは，y は増加．これを記号で表わす．

■ 極値を求める ■
　増加から減少に変化する場所を「極大」といい，そのときの y の値を「極大値」という．
　減少から増加に変化する場所を「極小」といい，そのときの y の値を「極小値」という．
　極大値と極小値をまとめて極値という．
　極値を表に書き込む．
　この問題では，x=1 のとき，極小値 y=−1 となる． 		　以上の結果を表にすると，次のようになる．このような表を増減表という．
x
　x<1　
1
　1<x　
y’
−
0
+
y
- 1

　x の値は，左に小さな値，右に大きな値があるものとする（数直線と同様）ので，この表の1行目は次のように省略してよい．
x
　　
1
　　
y’
−
0
+
y
- 1

例2
　 y=−2x2+3x の増減表を求めるには：

■微分する ■
　y’=x2−4x+3
■ y’=0 を解く ■
　y’=0 ⇔ x2−4x+3=0 ⇔ (x−1)(x−3)=0 ⇔ x=1，3
■ y’ の符号を求める ■
x<1　のとき，例えば　x=0　のとき　y’=3　だから　y’ の符号は +
1<x<3　のとき，例えば　x=2　のとき　y’=−1　だから，　y’ の符号は−
3<x　のとき，例えば　x=4　のとき　y’=3　だから　y’ の符号は+
■ 極値を求める ■
x=1 のとき， y=

x=3 のとき， y=0
x
　　　　
1
　　　　
3
　　　　
y’
+
0
−
0
+
y
0


■■　増減表の作り方（要点）　■■

(1)　y’ を求める．
(2)　y’=0　となる x の値を求める．==>x の方程式を解く．
(3)　y’=0　となる x の値を区切り目として表を書く．

上の行は x の値、次の行は y’ の符号、一番下の行は y の値を表すものとして，表は上から下へ，左から右へ見ていく．
(4)　y’ の符号は，その区間にある x の一つの値を代入して判断する．
(5)　y’ が+ならば y は増加（），y’ が−ならば y は減少()

■問題１　次の各関数について，増減表を完成しなさい．
　（左から空欄を一つ選択し，続いて右からその欄に入るものを選択しなさい．正しければ確定し，間違っていれば元に戻ります．）

(1)
　y=x3−3x2
　y’=3x2−6x=3x(x−2)　
x 　 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　
(2)
　y=−x3+3x
　y’=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)　
x 　 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　
(3)
　y= x2−4x
　y’=2x−4= 2(x−2)　
x 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　

■解説

（備考）
平成11年告示の高等学校学習指導要領では，数学II で扱う微分は３次関数までとなっていますが，以下の解説においては，数学III や高校卒業後の数学も視野に入れて，この制限を外しています．


■y’=0 が虚数解をもつ場合
　右の例1のように，y’=0 が虚数解を持つときは，その虚数解はy’　の符号の変わり目とはならないので，y’=0 の実数解から増減表を作ればよい．

 例1
y’=(x2+1)(x−1) のとき，y’=0 の実数解はx=1 ，他の２つの解は虚数
　このとき，因数 x2+1 の符号はつねに正で，y’ の符号に影響していない．
　したがって，y’ の符号は
　　y’=2(x−1)
　　y’=3(x−1)
などと全く同じになる．
（これらと元の関数を比較すると，y’ の値は少し異なるが，符号は全く同じ．増減表においては，y’ の値には興味がなく，正，負，0 の符号のみに興味があるから，x2+1 を無視して増減表を作ることができる．）
○　増減表は次のようになる．
y=···
y’=(x2+1)(x−1)
x 　 1 　
y’ - 0 +
y 　
■y’=0 が重解，3重解をもつ場合

　右の例２のように，y’=0 が（2）重解をもつ点においては，接線の傾きは一度 0 になるが，増減は変化しない．
（y’ の符号は２回変わる=変化しない）

　右の例３のように，y’=0 が3重解をもつ点においては，接線の傾きは一度 0 になり，増減は変化する．
（y’ の符号は3回変わる=1回変る）


※　例２のような場合，y’=0 が重解をもつ点は，極値とならない．

　y’ の符号が，　　+　→　0　→　+
　y’ の符号が，　　-　→　0　→　-

は，崖に道路の図･･･極値でない．
例2
y’=(x−1)(x−2)2 のとき，y’=0 の実数解はx=1，x=2(重解)
となるが，
○　x=2 では y’=0 となるが，x=2 の前後で符号は変化していない．
　符号が2回変化すると考えてもよい．
　(x−2)2 は，２乗だから，つねに　≧0　と考えてもよい．

　ただし，x=2 では y’=0 となるので，接線の傾きは一度 0 になる．
○　増減表は次のようになる．
y=···
y’=(x−1)(x−2)2
x 　 1 　 2 　
y’ - 0 + 0 +
y 　 　
例3
y’=(x−1)(x−2)3 のとき，y’=0 の実数解はx=1，x=2(3重解)
となるが，
○　x=2 では y’=0 となって，x=2 の前後で符号は変化する．
　符号が3回変化する（1回と同じ）と考えてもよい．

　ただし，x=2 では y’=0 となるので，接線の傾きは一度 0 になる．
○　増減表は次のようになる．
y=···
y’=(x−1)(x−2)3
x 　 1 　 2 　
y’ + 0 - 0 +
y 　 　

■問題２　次の各関数について，増減表を完成しなさい．
　（左から空欄を一つ選択し，続いて右からその欄に入るものを選択しなさい．正しければ確定し，間違っていれば元に戻ります．）

(1)
　y=x4+2x2
　y’=4x3+4x=4x(x2+1)　
x 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　
(2)
　y=−(x+1)3
　y’=−3(x+1)2
x 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　
(3)
　y=3x4−4x3
　y’=12x3−12x2=12x2(x−1)　
x 　 　 　
y’
y
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　
○==メニューに戻る